Glavni problem u teoriji diofantskih aproksimacija jest problem aproksimacije iracionalnih brojeva racionalnima. Prvi važan rezultat u tom polju je dokazao Dirichlet. On je pokazao da za svaki realan broj r i svaki prirodan broj Q > 1, postoje cijeli brojevi p,q takvi da je 0 < q < Q i |qr - p| <= 1/Q. Važna posljedica ovog rezultata je da ako je r iracionalan broj, onda postoji beskonačno mnogo racionalnih brojeva p/q takvih da je |r - p/q| < 1/q2. Problem pronalaženja racionalnih brojeva p/q s gornjim svojstvom dovodi do proučavanja Fareyevih nizova, te verižnih (neprekidnih) razlomaka. U ovom kolegiju veća pozornost je posvećena verižnim razlomcima.
U drugom dijelu kolegija promatra se problem aproksimacije algebarskih brojeva racionalnima. Tu je polazište poznati Liouvilleov teorem koji kaže da za svaki algebarski broj r stupnja d >= 2, postoji konstanta c(r) > 0, tako da je |r -p/q| > c(r)/qd za svaki racionalan broj p/q. Liouvilleov rezultat povlači da nejednadžba |r - p/q| < 1/qm ima samo konačno mnogo racionalnih rješenja p/q ako je m > d. Ovaj rezultat su poboljšavali Thue (m > d/2+1), Siegel (m > 2 sqrt(d)), Gelfond (m > sqrt(2d)), da bi Roth dokazao da gornja nejednadžba ima konačno mnogo rješenja ako je m > 2, što je prema Dirichletovom teoremu najbolji mogući rezultat. Rothov teorem je "neefektivan", u smislu da ne daje način za nalaženje svih rješenja gornje nejednadžbe. U kolegiju su, pored detaljnog dokaza Rothovog teorema, prikazani i neki "efektivni" rezultati A. Bakera.
Na kraju kolegija prikazana je veza između gore navedenih rezultata i tzv. Thueove jednadžbe. To je jednadžba oblika F(x,y) = t, gdje je F ireducibilna binarna forma s cjelobrojnim koeficijentima stupnja >= 3, a t je cijeli broj. Iz Rothovog (u stvari, već i iz Thueovog) teorema slijedi da je broj cjelobrojnih rješenja ove jednadžbe konačan.
Aproksimacija iracionalnih brojeva racionalnima. Dirichletov teorem. Fareyevi nizovi. Verižni razlomci. Verižni razlomci i aproksimacija iracionalnih brojeva racionalnima. Ekvivalentni brojevi. Asimetrične aproksimacije. Periodski verižni razlomci. Pellova jednadžba.
Simultane aproksimacije. Dirichletov teorem o simultanim aproksimacijama. Teoremi Blichfeldta i Minkowskog. Poboljšanje konstanti simultane aproksimacije.
Aproksimacija algebarskih brojeva. Liouvilleov teorem. Rothov teorem. Kombinatorne leme. Siegelova lema. Indeks polinoma. Indeksni teorem. Indeks od P(X1, ... , Xm) u racionalnim točkama blizu (r, r, ... , r). Generalizirani Wronskijani. Rothova lema. Završetak dokaza Rothovog teorema. Brojanje dobrih racionalnih aproksimacija. Hipergeometrijska metoda. Thueova jednadžba.