DIOFANTSKE APROKSIMACIJE 2. zadaća

9. 12. 1997.

1. Izračunajte prve četiri konvergente \frac{p_{0}}{q_{0}} , \frac{p_{1}}{q_{1}} , \frac{p_{2}}{q_{2}} , \frac{p_{3}}{q_{3}} u razvoju broja π =

3.1415926 … u jednostavni verižni razlomak.

2. Dokažite da nazivnici q_{n} u konvergentama razvoja u jednostavni verižni razlomak iracionalnog broja α zadovoljavaju nejednakost q_{n} ≥ F_{n}.

3. Dokažite da vrijedi

\frac{p_{n}}{p_{n−1}} = [a_{n}, a_{n−1}, …, a_{1}, a_{0}]

ako je a_{0} ≠ 0. Neka je [a_{0}, a_{1}, …, a_{n}] razvoj u jednostavni konačni verižni razlomak racionalnog broja \frac{r}{s}, gdje je (r, s) = 1 i r ≥ s > 0. Dokažite da je ovaj razvoj simetričan, tj. a_{0} = a_{n}, a_{1} = a_{n−1}, a_{2} = a_{n−2}, …, ako i samo ako r|s^{2} + (−1)^{n−1}.

4. Neka je [a_{0}, a_{1}, a_{2} …] razvoj u jednostavni verižni razlomak iracionalnog broja α. Neka je b_{1}, b_{2}, b_{3}, … konačan ili beskonačan niz prirodnih brojeva. Dokažite:

lim_{n→∞}[a_{0}, a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, …] = α .

5. Reći ćemo da je racionalan broj \frac{a}{b}, b > 0, ”dobra aproksimacija” iracionalnog broja α ako vrijedi

|α − \frac{a}{b}| = min \{|α − \frac{x}{y}| : x, y ∈ Z, 0 < y ≤ b\} .

Dokažite da je svaka ”dobra aproksimacija” od α ili konvergenta ili sekundarna konvergenta od α. Pokažite primjerom da svaka sekundarna konvergenta ne mora biti ”dobra aproksimacija”. (Uputa: promatrajte α = \sqrt{2}.)

6. Dokažite da sljedeća tvrdnja ne vrijedi za niti jednu konstantu c > 2: Za svaki iracionalan broj α, postoji beskonačno mnogo racionalnih brojeva \frac{p}{q} takvih da je

|α − \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^{c}} .

Andrej Dujella