DIOFANTSKE APROKSIMACIJE

4. zadaća

3. 3. 1998.

1. Neka je (x_{n}, y_{n}), n = 1, 2, …, niz svih pozitivnih rješenja Pellove jednadžbe x^{2} − dy^{2} = 1, zapisan u rastućem redosljedu. Dokažite da vrijedi:

x_{n+2} = 2x_{1}x_{n+1} − x_{n}, y_{n+2} = 2x_{1}y_{n+1} − y_{n}, n ≥ 0.

2. Nadite najmanje pozitivno rješenje (ako postoji) jednadžbi

x^{2} − 29y^{2} = −1, x^{2} − 29y^{2} = 1.

3. Dokažite da za proizvoljan cijeli broj k jednadžba

x^{2} − (k^{2} − 1)y^{2} = −1

nema rješenja u cijelim brojevima.

4. Navedite podskup R_{1} ravnine E^{2} koji je konveksan i čija je površina μ(R_{1}) = ∞, ali R_{1} ne sadrži niti jednu cjelobrojnu točku.

5. Navedite podskup R_{2} ravnine E^{2} koji je simetričan s obzirom na ishodište i čija je površina μ(R_{2}) = ∞, ali R_{2} ne sadrži niti jednu cjelobrojnu točku.

6. Neka su α_{1} i α_{2} realni brojevi, te n prirodan broj. Dokažite da postoje cijeli brojevi p_{1}, p_{2}, q takvi da vrijedi:

0 < q ≤ n i (α_{1} − \frac{p_{1}}{q})^{2} + (α_{2} − \frac{p_{2}}{q})^{2} ≤ \frac{4}{πnq^{2}} .

Andrej Dujella