DIOFANTSKE APROKSIMACIJE

3. zadaća

20. 1. 1998.

1. Na skupu R \ Q zadana je relacija ≅ na sljedeći način: α ≅ β akko

postoje cijeli brojevi a, b, c, d takvi da je ad − bc = ±1 i

β = \frac{aα + b}{cα + d} .

Dokažite da je ≅ relacije ekvivalencije.

2. Da li su brojevi \sqrt{5} i \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ekvivalentni? Isto pitanje za brojeve

\sqrt{3} i \frac{1 + \sqrt{3}}{2}.

3. Odredite realan broj čiji je razvoj u jednostavni verižni razlomak jednak [9, \overline{9, 18}].

4. Nadite razvoje u jednostavni verižni razlomak sljedećih brojeva:

\sqrt{15}, \sqrt{23}, \sqrt{59}, \frac{2 + \sqrt{5}}{3}.

5. Neka je d ≥ 2 prirodan broj. Dokažite:

\sqrt{d^{2} − 1} = [d − 1, \overline{1, 2d − 2}], \sqrt{d^{2} − d} = [d − 1, \overline{2, 2d − 2}].

6. Dokažite da je kvadratna iracionalnost α = \frac{a + \sqrt{d}}{b}, a, b, ∈ Z, d ∈ N,

d ≠ □, reducirana ako i samo ako vrijedi 0 < a < \sqrt{d}, 0 < \sqrt{d} − a < b < \sqrt{d} + a < 2\sqrt{d} .

Andrej Dujella