DIOFANTSKE APROKSIMACIJE 6. zadaća

19. 5. 1998.

1. Neka su φ_{1}, …, φ_{k} racionalne funkcije od m varijabli X_{1}, …, X_{m} s realnim koeficijentima. Ako su φ_{1}, …, φ_{k} linearno zavisne nad R, dokažite da su svi njihovi generalizirani Wronskijani identički jednaki 0.

2. Neka je α algebarski broj stupnja d ≥ 2 i κ > 2. Dokažite da postoji konstanta c = c(α, κ) > 0 takva da je

|α − \frac{p}{q}| ≥ \frac{c}{q^{κ}}

za sve p ∈ Z, q ∈ N.

3. Dokažite da je derivacija hipergeometrijske funkcije F ( \begin{matrix}α, β \\ γ \end{matrix} | x )

jednaka

\frac{αβ}{γ} F ( \begin{matrix}α + 1, β + 1 \\ γ + 1 \end{matrix} | x ) .

4. Dokažite da hipergeometrijska funkcija F = F ( \begin{matrix}α, β \\ γ \end{matrix} | x ) zadovolja-

va diferencijalnu jednadžbu

x(x − 1)F′′ + [(1 + α + β)x − γ]F′ + αβF = 0 .

5. Neka su a, b prirodni brojevi takvi da je \frac{7}{8}a ≤ b < a. Dokažite da za r = 1, 2, 3, 4 vrijedi:

∑_{k=0}^{⌊r/2⌋} \binom{r + k}{k}^{2}\binom{2r + k + 1}{k}^{−1}(\frac{a − b}{b})^{k} < (\frac{a}{b})^{r}.

6. Dokažite da za sve p ∈ Z, q ∈ N vrijedi

| ^{3} \sqrt{19} − \frac{p}{q}| > \frac{10^{−7}}{q^{2.56}} .

(Uputa: Iskoristite Teorem 12.1 za a = b + 3 = 19 · 81 .)

Andrej Dujella