DIOFANTSKE APROKSIMACIJE

1. zadaća

18. 11. 1997.

1. Neka je a ≥ 2 prirodan broj. Dokažite da je broj ∑_{n=0}^{∞} a^{−n^{2}}

iracionalan.

2. Neka su \frac{h}{k} i \frac{h′}{k′} susjedni elementi Fareyevog niza F_{n}. Dokažite da je tada k + k′ > n.

3. Neka \frac{h}{k} i \frac{h′}{k′} prolaze svim parovima uzastopnih elemenata Fareyevog niza F_{n}, n > 1. Izračunajte

min (\frac{h′}{k′} − \frac{h}{k}) i max (\frac{h′}{k′} − \frac{h}{k}).

4. Neka su

\frac{0}{1} = \frac{h_{1}}{k_{1}} < \frac{h_{2}}{k_{2}} < ⋯ < \frac{h_{m}}{k_{m}} = \frac{1}{1}

svi elementi niza F_{n}. Dokažite da je ∑_{j=1}^{m−1}(k_{j}k_{j+1})^{−1} = 1.

5. Neka su \frac{h}{k}, \frac{h′′}{k′′}, \frac{h′}{k′} tri uzastopna elementa niza F_{n}. Dokažite da vrijedi

h′ + h = ⌊(k + n)/k′′⌋ · h′′, k′ + k = ⌊(k + n)/k′′⌋ · k′′.

6. Pretpostavimo da je p = a, q = b jedno rješenje nejednadžbe

|α − \frac{p}{q}| < \frac{1}{\sqrt{5}q^{2}} ,  (1)

gdje je α iracionalan broj. Dokažite da samo konačno mnogo parova p, q oblika p = ma, q = mb, m ∈ N, zadovoljava nejednadžbu (1).

Andrej Dujella