DIOFANTSKE APROKSIMACIJE

5. zadaća

24. 3. 1998.

1. Neka je P (x) = a_{d}x^{d} + ⋯ + a_{0} minimalni polinom algebarskog broja α, te neka su α^{(1)} = α, α^{(2)}, …, α^{(d)} korijeni od P. Dokažite da se tada za konstantu c(α) u Liouvilleovom teoremu može uzeti

c(α) = a_{d}^{−1} ∏_{j=2}^{d}(1 + |α| + |α^{(j)}|)^{−1} .

2. Dokažite da za sve prirodne brojeve p, q vrijedi

|\frac{\sqrt{2}}{2} − \frac{p}{q}| > \frac{1}{4q^{2}} .

3. Dokažite da tvrdnja Rothovog teorema vrijedi za sve α ∈ C \ R.

4. Neka je α algebarski broj čiji je minimalni polinom P (x) = a_{d}x^{d} + ⋯ + a_{0}. Dokažite da je tada β = a_{d}α algebarski cijeli broj stupnja d.

5. Dokažite Gaussovu lemu: Neka je f(x) normirani polinom s cjelobrojnim koeficijentima, te g(x) i h(x) normirani polinomi s racionalnim koeficijentima takvi da je f(x) = g(x)h(x). Dokažite da tada g(x) i h(x) imaju cjelobrojne koeficijente.

6. Dokažite da za sve realne brojeve x vrijedi: e^{x} ≥ 1 + x.

Dokažite da za sve realne brojeve x takve da je |x| ≤ 1 vrijedi: e^{x} ≤ 1 + x + x^{2}.

Andrej Dujella