Poslijediplomski kolegij (2011/2012)
Raspored:
Predavanja se održavaju srijedom od 15 do 17 sati u predavaonici br. 108.
Prvo predavanje je održano 2.11.2011.
Zadnje predavanje je održano 30.5.2012.
Od 30.11.2011. ovdje možete predići prvu zadaću.
Rok za predaju rješenja prve zadaće je 21.12.2011.
Od 21.12.2011. ovdje možete predići drugu zadaću.
Rok za predaju rješenja druge zadaće je 1.2.2012.
Od 8.2.2012. ovdje možete predići treću zadaću.
Rok za predaju rješenja treće zadaće je 29.2.2012.
Od 7.3.2012. ovdje možete predići četvrtu zadaću.
Rok za predaju rješenja četvrte zadaće je 4.4.2012.
Od 2.5.2012. ovdje možete predići petu zadaću.
Rok za predaju rješenja pete zadaće je 30.5.2012.
Opis kolegija
Jedno od glavnih pitanja u grani teorije brojeva koja se naziva diofantske aproksimacije
jest pitanje koliko se dobro zadani iracionalni broj može aproksimirati pomoću racionalnih
brojeva. Klasični Dirichletov teorem kaže da za svaki iracionalan broj α postoji beskonačno
mnogo racionalnih brojeva p/q takvih da je
|α - p/q| < 1/q2. Racionalne aproksimacije
p/q
s ovim svojstvom mogu se dobiti pomoću Fareyevih nizova ili verižnih razlomaka. Pored
ovog klasičnog problema, od interesa su i različite njegove modifikacije, primjerice
nesimetrične aproksimacije, simultane aproksimacije ili aproksimacije algebarskim brojevima
zadanog stupnja.
U kolegiju će se prikazati osnovni rezultati o spomenutim problemima. Također će se
prikazati i nekoliko primjena rezultata, metoda i algoritama iz diofantskih aproksimacija,
posebice onih na kojima su zadnjih godina radili članovi hrvatske grupe iz teorije brojeva.
To će uključivati primjene Worleyevog teorema o karakterizaciji dobrih racionalnih
aproksimacija pomoću verižnih razlomaka u rješavanju diofantskih (npr. Thueovih)
jednadžbi, problem separacije korijena polinoma s cjelobrojnim koeficijentima, te primjenu
verižnih razlomaka i LLL-algoritma u kriptografiji.
Od studenata se očekuje poznavanje osnovnih pojmova i činjenica iz
teorije brojeva, na nivou preddiplomskog kolegija
Teorija brojeva.
Literatura
Y. Bugeaud: Approximation by Algebraic Numbers, Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
J. W. S. Cassels: An Introduction to Diophantine Approximation,
Cambridge University Press, Cambridge, 1965.
D. Hensley: Continued Fractions, World Scientific, Singapore, 2006.
A. Ya. Khinchin: Continued Fractions, Dover, New York, 1997.
S. Lang: Introduction to Diophantine Approximations,
Addison-Wesley, Reading, 1966.
P. Q. Nguyen, B. Vallee (Eds.): The LLL Algorithm. Survey and Applications,
Springer, Berlin, 2010.
I. Niven: Diophantine Approximations, John Wiley & Sons, New York, 1963.
W. M. Schmidt: Diophantine Approximation, Springer-Verlag, Berlin,
1980, 1996.
W. M. Schmidt: Diophantine Approximation and Diophantine Equations,
Springer-Verlag, Berlin, 1991, 1996.
N. P. Smart: The Algorithmic Resolution of Diophantine
Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
U. Zannier: Lecture Notes on Diophantine Analysis,
Edizioni della Normale, Pisa, 2009.