[Prethodna tema]   [Sljedeća tema]

2.3. Diofantove m-torke

Skup od m prirodnih brojeva zove se Diofantova m-torka ako produkt svaka dva njegova različita elementa uvećan za 1 daje potpun kvadrat. Skup od m racionalnih brojeva (različitih od nule) s istim svojstvom naziva se racionalna Diofantova m-torka.

Prvu racionalnu Diofantovu četvorku pronašao je grčki matematičar Diofant, po kome su ovi skupovi i dobili ime. Ta četvorka je bila

{1/16, 33/16, 17/4, 105/16}.

Prvu (cjelobrojnu) Diofantovu četvorku, skup

{1, 3, 8, 120},

pronašao je Fermat. Uvjerimo se da je ovaj skup zaista Diofantova četvorka:

1 * 3 + 1 = 22,         1 * 120 + 1 = 112,
1 * 8 + 1 = 32,         3 * 120 + 1 = 192,
3 * 8 + 1 = 52,         8 * 120 + 1 = 312.

Poznato je da se svaka Diofantova trojka može nadopuniti do Diofantove četvorke, te da se svaka Diofantova četvorka može nadopuniti do racionalne Diofantove petorke. Već je Euler uspio nadupuniti Fermatov skup s petim racionalnim brojem 777480 / 8288641. No, prva racionalna Diofantova šestorka pronađena je tek 1999. godine. Bio je to skup

{11/192, 35/192, 155/27, 512/27, 1235/48, 180873/16},

koji je pronašao Gibbs.

Nedavno je dokazano da ne postoji niti jedna (cjelobrojna) Diofantova šestorka, a slutnja je da ne postoji niti Diofantova petorka. S druge strane, ne zna se nikakva gornja ograda za veličinu racionalnih Diofantovih m-torki.

Recimo nešto o vezi Diofantovih m-torki i eliptičkih krivulja. Pretpostavimo da želimo (cjelobrojnu ili racionalnu) Diofantovu trojku {a, b, c} nadopuniti do Diofantove četvorke. To znači da želimo naći broj d takav da su brojevi ad + 1, bd + 1 i cd + 1 potpuni kvadrati. Ovom problemu na prirodan način možemo pridružiti eliptičku krivulju

E :       y2 = (x + ab)(x + ac)(x + bc).

Naime, ako je d rješenje našeg problema, onda je točka s prvom koordinatom x = abcd racionalna točka na krivulji E. Krivulja E ima tri racionalne točke reda 2: (-ab, 0), (-ac, 0), (-bc, 0), a također i trivijalnu racionalnu točku P = (0, abc) za koju nije teško pokazati da je beskonačnog reda. Dakle, na krivulji E postoji beskonačno mnogo racionalnih točaka (x, y). Postavlja se pitanje za koje će od tih točaka broj d = x / abc prestavljati rješenje polaznog problema, tj. imati svojstvo da je {a, b, c, d} racionalna Diofantova četvorka. Odgovor je da su to sve točke oblika P + [2] U, gdje je U proizvoljna racionalna točka na E. Na krivulji E se nalazi još jedna zanimljiva racionalna točka, naime točka s prvom koordinatom jednakom 1. Preciznije, ako je

ab + 1 = r2,     ac + 1 = s2,     bc + 1 = t2,

onda točka S = (1, rst) leži na E. Štoviše, vrijedi da je S = [2] R, gdje je

R = ((rs + rt + st + 1), (r + s)(r + t)(s + t)).

Direktni račun pokazuje da su prve koordinate točaka P - S i P + S jednake

a + b + c +- 2abc + 2rst,

što predstavlja dokaz činjenice da se svaka Diofantova trojka može nadopuniti do Diofantove četvorke. Primjenimo li ovu konstrukciju npr. na Diofantovu trojku {1, 3, 120}, dobit ćemo Diofantove četvorke {1, 3, 8, 120} i {1, 3, 120, 1680}. S tim u vezi spomenimo da su Dujella i Petho dokazali 1998. godine da se svaka Diofantova trojka oblika {1, 3, c}, gdje je c <> 8, može na točno dva načina proširiti do Diofantove četvorke.

U dokazu da se svaka Diofantova četvorka može nadopuniti do racionalne Diofantove petorke, ponovo se koristi pribrajanje i oduzimanje točke S. Neka je T = (x, y) točka na E takva da broj d = x / abc zadovoljava uvjet da su ad + 1, bd + 1 i cd + 1 potpuni kvadrati. Promotrimo točku T +- S = (x', y'). Tada broj d' = x' / abc također zadovoljava isti uvjet kao i d. No, vrijedi i više. Naime, d * d' + 1 je također potpun kvadrat. Drugim riječima, {a, b, c, d, d'} je racionalna Diofantova petorka. Primjenom ove konstrukcije na Fermatov skup {a, b, c, d} = {1, 3, 8, 120}, dobiva se upravo Eulerovo rješenje d' = 777480 / 8288641.

Više informacija o različitim problemima vezanim uz Diofantove m-torke može se naći na web stranici o Diofantovim m-torkama.

Zadatci:

  1. Originalni Diofantov skup {1/16, 33/16, 17/4, 105/16} nadopunite do racionalne Diofantove petorke.

  2. Koliko ima Diofantovih četvorki čiji su svi elementi manji od 1000000 ?

  3. Dokažite da ne postoji skup od četiri prirodna broja sa svojstvom da produkt svaka dva njegova različita elementa uvećan za 2 daje potpun kvadrat. Nađite petorku racionalnih brojeva s istim svojstvom.

[Prethodna tema]   [Sljedeća tema]
Web stranica seminara Andrej Dujella - osobna stranica