[Prethodna tema]   [Sljedeća tema]  

3. Eliptičke krivulje nad poljem racionalnih brojeva

3.1. Grupa E(Q)

Sada ćemo reći nešto više o eliptičkim krivuljama nad poljem racionalnih brojeva Q. Kod takvih krivulja su, po definiciji, koeficijenti kubnog polinoma racionalni brojevi. Međutim, množenjem s njihovim zajedničkim nazivnikom možemo postići da su koeficijenti cijeli brojevi. To znači da možemo pretpostaviti da naša krivulja ima oblik

y2 = x3 + ax + b,

gdje su a, b cijeli brojevi i vrijedi da je 4a3 + 27b2 <> 0.

Najvažnija činjenica o eliptičkim krivuljama nad Q je Mordell-Weilov teorem.

Teorem: (Mordell - Weil) E(Q) je konačno generirana abelova grupa.

Drugim riječima, postoji konačan skup racionalnih točaka P1, ... , Pk iz kojih se sve ostale racionalne točke na E mogu dobiti metodom sekante i tangente.
Kako je svaka konačno generirana abelova grupa izomorfna produktu cikličkih grupa, dobivamo sljedeću neposrednu posljedicu Mordell-Weilovog teorema.

Korolar:         E(Q) = E(Q)tors × Zr

Grupa E(Q)tors koja se sastoji od svih točaka konačnog reda naziva se torzijska grupa od E, a nenegativni cijeli broj r se naziva rang od E i označava se s rank (E).
Korolar nam kaže da postoji r racionalnih točaka P1, ... , Pr na krivulji E sa svojstvom da se svaka racionalna točka P na E može prikazati u obliku

P = T + m1P1 + ... + mrPr,

gdje je T neka točka konačnog reda, a m1, ... , mr cijeli brojevi.

Postavlja se pitanje koje sve vrijednosti mogu poprimiti E(Q)tors i rank (E). Nadalje, pitanje je kako izračunati te vrijednosti za konkretnu krivulju E. Pokazuje se da je puno lakše dati odgovore na ova pitanja za torzijsku grupu, nego za rang. Do danas nije poznato koje sve vrijednosti može poprimiti rang eliptičke krivulje. Vjeruje se da rang može biti proizvoljno velik, no danas se zna tek da postoji eliptička krivulja ranga >= 24 (Martin i McMillen). Krivulja najvećeg ranga za koju je rang egzaktno izračunan (a ne samo donja ograda za rang) je krivulja ranga 15 (Dujella). (Naknadna napomena: Elkies je 2005. godine pronašao krivulju egzaktnog ranga 17, a 2006. godine krivulju ranga >= 28.) S druge strane, Mazur je dokazao da postoji točno 15 mogućih torzijskih grupa. To su

Zn, za n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ili 12;
Z2 × Zn, za n = 2, 4, 6 ili 8.

Možemo se pitati koliko velik može biti rang krivulje kojoj je zadana torzijska grupa. Slutnja je da i ovdje rang može biti proizvoljno velik, no danas se zna tek da za svaku od 15 mogućih torzijskih grupa postoji krivulja ranga >= 3. Podatci o najvećim poznatim rangovima za svaku od 15 mogućih torzijskih grupa mogu se naći u sljedećoj tablici.

Recimo sada nešto o računanju torzijske grupe od E. Pretpostavimo najprije da je P = (x, y) točka reda 2 na E. To znači da je [2] P = O, odnosno P = -P. No, odavde je (x, y) = (x, -y), što povlači y = 0. Dakle, točke reda 2 su upravo točke s y-koordinatom jednakom 0. Možemo imati 0, 1 ili 3 takve točke, što ovisi o broju racionalnih nultočaka polinoma x3 + ax + b. Te točke, zajedno s točkom u beskonačnosti O, čine podgrupu od E(Q)tors koja je ili trivijalna ili jednaka Z2 ili jednaka Z2 × Z2. Ostale točke konačnog reda možemo naći korištenjem sljedećeg teorema.

Teorem: (Lutz - Nagell) Ako je P = (x, y) in E(Q)tors, onda su x i y cijeli brojevi, te vrijedi da je ili y = 0 (tada P ima red 2) ili y2 dijeli diskriminantu D = - 4a3 - 27b2.

Primjer: Odredite torzijsku grupu eliptičke krivulje

E :         y2 = x3 + x.

Imamo D = -4. Stoga svaka torzijska točka P = (x, y) mora zadovoljavati ili y = 0 ili y | 2. Dakle, y in {0, 1, -1, 2, -2}. Lako se vidi da jednadžbe x3 + x = 1 i x3 + x = 4 nemaju cjelobrojnih rješenja, dok je x = 0 jedino cjelobrojno rješenje jednadžbe x3 + x = 0. To znači da je

E(Q)tors = {O, (0,0)} = Z2.

Zadatci:

  1. Provjerite da točke P1 = (-2,3), P2 = (2,5), P3 = (-1,4), P4 = (4,9), P5 = (8,23), P6 = (43,282) i P7 = (52,375) leže na eliptičkoj krivulji

    y2 = x3 + 17.

    Pokažite da se točke P3, P4, P5, P6 i P7 mogu prikazati u obliku [m] P1 + [n] P2, m, n in Z

  2. Nađite sve točke konačnog reda, te odredite strukturu torzijske grupe za sljedeće eliptičke krivulje
    a)   y2 = x3 + 4;
    b)   y2 = x3 + 8;
    c)   y2 = x3 - 4x;
    d)   y2 = x3 - 43x + 166.

[Prethodna tema]   [Sljedeća tema]  
Web stranica seminara Andrej Dujella - osobna stranica