[Prethodna tema]   [Sljedeća tema]

1.2. Eliptički integrali i eliptičke funkcije

Možemo se pitati od kud dolazi naziv eliptička krivulja. Veza između eliptičkih krivulja i elipse dolazi preko problema računanja opsega elipse. Neka je elipsa zadana jednadžbom q2x2 + p2y2 = p2q2. Tada je njezin opseg jednak vrijednosti integrala

elipticki integral


Pomoću racionalne supstitucije, ovaj se integral može svesti na sličan integral u kojem se pod korijenom nalazi kubna funkcija. Općenito se integrali u kojima je javljaju drugi korijeni polinoma trećeg ili četvrtog stupnja nazivaju eliptički integrali. Oni se ne mogu izraziti pomoću elementarnih funkcija. Međutim, moguće ih je izraziti pomoću tzv. Weierstrassove p-funkcije. Ova funkcija zadovoljava diferencijalnu jednadžbu oblika

(p')2 / 4 = p3 + ap + b.

Ovdje je njena uloga analogna ulozi funkcije sinus kod računanja integrala kojih kojih se ispod korijena javljaju kvadratne funkcije. Naime, funkcija sin x je rješenje diferencijalne jednadžbe y2 + (y ')2 = 1.

Slično kao što jediničnu kružnicu možemo parametrizirati pomoću (cos t, sin t), tako se kompleksne točke na eliptičkoj krivulji y2 = x3 + ax + b mogu parametrizirati pomoću (p(t), p'(t)/2). Štoviše, pokazuje se da ako je P = (p(t), p'(t)/2) i Q = (p(u), p'(u)/2), onda je P + Q = (p(t+u), p'(t+u)/2). To znači da zbrajanje točaka na E(C) odgovara zbrajanju kompleksnih brojeva. Poznavanje te činjenice daje elegantni dokaz asocijativnosti zbrajanja točaka na eliptičkoj krivulji.

Kad se promatra nad poljem R, eliptička krivulja je stvarno "krivulja", tj. 1-dimenzionalni objekt. No, promatrana nad C ona postaje 2-dimenzionalni objekt ("ploha") u 4-dimenzionalnom prostoru. Pokušajmo vizualizirati tu plohu.

Tu nam može pomoći funkcija p. Ona posjeduje mnoga važna svojstva. Jedno njih jest da je dvostruko periodična, tj. postoje kompleksni brojevi omega1 i omega2 (takvi da omega1 / omega2 nije realan broj) sa svojstvom p(z + m omega1 + n omega2) = p(z) za sve cijele brojeve m, n. Označimo s L "rešetku" svih točaka oblika m omega1 + n omega2. Funkcija p je analitička u svim točkama kompleksne ravnine, osim u točkama iz rešetke L u kojima ima pol drugog reda (tj. p je meromorfna funkcija). Općenito se meromorfne dvostruko periodične funkcije nazivaju eliptičke funkcije.

Gore navedena parametrizacija točaka na eliptičkoj krivulji pomoću funkcije p predstavlja zapravo izomorfizam grupa E(C) i C / L. Funkcija p je u potpunosti određena svojim vrijednostima u "fundamentalnom paralelogramu" koji se sastoji od svih kompleksnih brojeva oblika m omega1 + n omega2, 0 <= m, n < 1.

fundamentalni paralelogram


Razlika točaka koje se nalaze nasuprot jedna drugoj na paralelnim stranicama tog paralelograma je element iz L. Stoga su te točke poistovjećene u skupu C / L. Da bi vizualizirali taj skup, možemo zamisliti da smo najprije "slijepili" dvije suprotne stranice paralelograma. Tako dobivamo valjak. Nakon toga "slijepimo" baze toga valjka. Tako dobivamo torus:

torus


Torus možemo zamisliti i kao sferu s "rupom". Pokazuje se da se svaka algebarska krivulja može prikazati u trodimenzionalnom prostoru kao sfera s konačno mnogo rupa.

2-torus


Taj broj rupa se naziva genus ili rod krivulje. Alternativna (šira) definicija eliptičke krivulje je da je to algebarska krivulja genusa jednakog 1. Ova definicija uključuje ne samo nesingularne kubne krivulje, već i sve one krivulje koje su im biracionalnog ekvivalentne. To znači se iz njih mogu dobiti pomoću biracionalne transformacije - racionalne transformacije čiji je inverz također racionalna transformacija. Biracionalne transformacije čuvaju genus krivulje, ali ne čuvaju njezin stupanj.

Ako krivulja ima stupanj n, onda je njezin genus <= (n - 1)(n - 2) / 2, s time da ako je krivulja nesingularna, onda joj je genus upravo jednak (n - 1)(n - 2) / 2. Poznato je da takozvane hipereliptičke krivulje čija je jednadžba y2 = f(x), gdje je f(x) polinom stupnja n >= 3 bez višestrukih korijena, imaju genus [(n - 1)/2]. To posebno znači da, pored slučaja kada je n = 3, i u slučaju kad je n = 4 također imamo eliptičku krivulju. Uvjerimo se u to na jednom primjeru. Neka je C krivulja zadana jednadžbom

y2 = x4 + 3x2 + 2x.

Uvedimo supstituciju x = 2 / (s - 1), y = 2t / (s - 1)2. Inverzna transformacija je s = (x + 2) / x, t = 2y / x2. Stoga je ovo biracionalna transformacija. Ona prevodi krivulju C u eliptičku krivulju danu jednadžbom

t2 = s3 - 3s + 6.


Genus krivulje igra važnu ulogu kod klasifikacije diofantskih jednadžbi. Naime, o njemu ovisi broj cjelobrojnih, odnosno racionalnih rješenja jednadžbe, te struktura tih rješenja.

Krivulje genusa 0 su upravo one koje posjeduju parametrizaciju pomoću racionalnih funkcija. Svaka krivulja drugog stupnja (konika) ima genus 0. Npr. krivulja x2 + y2 = 1 ima racionalnu parametrizaciju

x = 2t / (t2 + 1), y = (t2 - 1) / (t2 + 1).

Kubne singularne krivulje također imaju genus 0. Npr. krivulja y2 = x3 ima singularnu točku (0,0). Stoga ova kubna krivulja nije eliptička. Njezina racionalna parametrizacija je x = t2, y = t3. Kao drugi primjer navedimo krivulju y2 = x3 + 2x2. Ona je također singularna i ima racionalnu parametrizaciju x = t2 - 2, y = t3 - 2t.

singularna krivulja singularna krivulja


Očito je da ove dvije kubne krivulje imaju beskonačno mnogo cjelobrojnih točaka. Pellova jednadžba x2 - dy2 = 1 (d prirodan broj koji nije potpun kvadrat) je primjer krivulje drugog stupnja koja ima beskonačno mnogo cjelobrojnih točaka.

Krivulja genusa 1 može imati samo konačno mnogo cjelobrojnih točaka. Racionalnih točaka može biti beskonačno mnogo, ali su "konačno generirane" (sve se mogu dobiti iz konačno točaka primjenom grupovne operacije na eliptičkoj krivulji).

Krivulja genusa većeg od 1 može imati samo konačno mnogo racionalnih točaka. Ova tvrdnja je poznata Mordellova slutnja koju je 1983. godine dokazao Faltings.

Zadatci:

  1. Neka je n prirodan broj. Koliko točaka reda n ima eliptička krivulja definirana nad C, a koliko eliptička krivulja definirana nad R? O čemu sve ovisi odgovor za krivulje nad R?

  2. Pokažite da krivulja

    y2 = x3 - 2x2 + x

    ima genus 0, te nađite jednu njezinu racionalnu parametrizaciju.

  3. Poznato je da vrijedi: Ako su C1, C2, C3 tri kubne krivulje, te ako C1 prolazi kroz 8 točaka presjeka od C2 i C3, onda C1 prolazi i kroz devetu točku presjeka (to je posljedica tzv. Bezoutovog teorema). Koristeći ovu činjenicu, dokažite (geometrijski) asocijativnost operacije zbrajanja na eliptičkoj krivulji.

[Prethodna tema]   [Sljedeća tema]
Web stranica seminara Andrej Dujella - osobna stranica