Andrej Dujella: Teorija brojeva - Errata et addenda

Popis korekcija i dodatnih komentara za sveučilišni udžbenik Teorija brojeva, Školska knjiga, drugo izdanje, 2024.

1.2 Princip matematičke indukcije

Str.9, redak 14 odozdo: Tvrdnja "No vrijedi i obrnuto." u ovom obliku i njezin dokaz nisu sasvim precizni, jer se u dokazu prešutno koristi jača verzija aksioma (2), prema kojoj svaki prirodni broj različit od 1 ima prethodnika. Vidjeti npr.
L.-D. Öhman, Are induction and well-ordering equivalent?, Math. Intelligencer 41 (2019), no. 3, 33-40.
(Hvala Martinu Epsteinu.)

1.4 Zadatci

Str. 20, redak 15: Umjesto (-1)^l treba pisati (-1)^l+1. (Hvala Alejandri Alvarado.)

2.3 Prosti brojevi

Str. 36, redak 2: Umjesto "(1601.-1665.)" vjerojatno treba pisati "(1607.-1665.)" (vidjeti https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat).

Str. 36: Trenutno najveći poznati Mersenneov prosti broj (ujedno i najveći poznati prosti broj) je M_136279841 (ima 41 024 320 znamenaka). Broj je otkrio Luke Durant u okviru projekta GIMPS u listopadu 2024. godine.

2.4 Zadatci

Str. 37, redak 2 odozdo: Umjesto "n ≥ 0" treba pisati "n ≥ 1". (Hvala Alejandri Alvarado.)

3.4 Kineski teorem o ostatcima

Str. 50, redak 16: Umjesto "2x₁" treba pisati "2x₂".

3.6 Kongruencije po prostom modulu

Str. 55, redak 5 odozdo: Umjesto "odgovarajućh" treba pisati "odgovarajućih".

3.7 Primitivni korijeni i indeksi

Str. 65, redak 15: Umjesto "(5^2k-2+1)" treba pisati "(5^2k-2+1)". (Hvala Peteru Engelfrietu.)

4.5 Djeljivost Fibonaccijevih brojeva

Str.95, redak 11 odozdo: Najveći poznati prosti Fibonaccijev broj sada je F₂₀₁₁₀₇ i ima 42 029 znamenaka. Prostost je dokazana ECPP metodom u rujnu 2023.

5.2 Pozitivno definitne kvadratne forme

Str. 107, redak 7 odozdo: Umjesto "p, q, r, s," treba pisati "p, q, r, s".

5.4 Sume triju kvadrata

Str. 126, redak 13 odozdo: Umjesto "Prema Teoremu 5.21" treba pisati "Prema Teoremu 5.16". (Hvala Alejandri Alvarado.)

7.2 Čebiševljeve funkcije

Str. 160, redak 11: Umjesto "3^k-1" treba pisati "3^k+1".

8.6 Periodski verižni razlomci

Str. 218, redak 10 odozdo: Nadostaje zarez nakon a₁.

Str. 220, redak 5: Umjesto "Onda je β" treba pisati "Onda je β_i".

8.8 Simultane aproksimacije

Str. 227, redak 6: Umjesto "j = 1...,m" treba pisati "j = 1,...,m". (Hvala Tomislavu Pejkoviću.)

8.9 LLL-algoritam

Str. 234, redak 17: Umjesto "||b₁||" treba pisati "b₁". (Hvala Tomislavu Pejkoviću.)

12.1 Kvadratna polja

Str. 361, Tablica 12.1: Umjesto "d=45" treba pisati primjerice "d=77", budući da u Korolaru 12.8 d mora biti kvadratno slobodan. (Hvala Borki Jadrijević.)

12.6 Exercises

Str. 388, redak 2 odozdo: U zadatku 27, umjesto p > 3ⁿ treba pisati p > 4 · 3ⁿ. (Hvala Takaakiju Kagawi.)

13.2 Rothov teorem

Str. 393, redak 12: Umjesto "|x₁" treba pisati "|x₁|". (Hvala Tomislavu Pejkoviću.)

14.4 Baker-Davenportova redukcija

Str. 436, redak 2 odozdo: Umjesto "742265900639684191" treba pisati "742265900639684111". (Hvala Tomislavu Pejkoviću.)

14.6 Diofantove m-torke

Str. 448:
Trenutni broj referenci na web stranici [93] https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html je 607.

15.1 Uvod u eliptičke krivulje

Str. 454: Elementarni dokazi svojstva asocijativnosti mogu se naći u člancima:
S. Friedl, An elementary proof of the group law for elliptic curves, Groups Complex. Cryptol. 9 (2017), 117-123.
S. Zwegers, An elementary approach to the group law on elliptic curves, Arch. Math. (Basel) 123 (2024), 477-486.

15.5 Rang eliptičke krivulje

Str. 490: Trenutni rekordni rang za eliptičke krivulje nad Q predstavlja krivulja ranga ≥ 31 koju su našli L. Alpöge and A. Howell u kolovozu 2026. godine:

y2 + xy + y = x3 + x2 - 1284727764113567728281797636015784768866707681415849262157224232063x  
             + 560368321454261339256859338901915312332769858684945406858043869199456710681989058863306170127006181. 

Str. 497, redak 7: Umjesto b'_i treba pisati b˜'_i. (Hvala Tomislavu Pejkoviću.)

Str. 498, redak 12: Umjesto "rangom većim od 28" treba pisati "rangom većim od 31".

Str. 499, redak 10 odozdo: Umjesto "ranga 14" treba pisati "ranga ≥ 14".

Str. 503: U tablici s rekordnim rangovima, za trivijalnu torzijsku grupu, 28 treba zamijeniti sa 31, dok su autori Alpöge - Howell (2026), Li (2026);
za torzijsku grupu Z/2Z treba dodati Li (2026.); za torzijsku grupu Z/4Z treba dodati Li (2026.); a za torzijsku grupu Z/9Z treba dodati Voznyy (2026.).

15.8 Primjena eliptičkih krivulja u kriptografiji

Str. 526, redak 7 odozdo: Umjesto "ranga većeg od 28" treba pisati "ranga većeg od 31".

Str. 526-527: Usporedba 1024-bitnog RSA sa 160-bitnim ključem kod eliptičkih krivulja odnosila se na stariju procjenu kod koje je granica za sigurnost simetričnih kriptosustava bila 80 bitova. Sada se preporučaju veći ključevi koji odgovaraju 112 bitova u simetričnim kriptosustavima: 2048-bitni ključ za RSA i 224-255 bitni ključ kod eliptičkih krivulja.

15.10 Faktorizacija s pomoću eliptičkih krivulja

Str. 535, redak 17: U članku
M. Derickx, F. Najman, Classification of torsion of elliptic curves over quartic fields, J. Reine Angew. Math. 829 (2025), 123-156,
pokazano je da nad kvartičnim poljima (proširenjima od Q stupnja 4) ne postoje sporadične torzijske grupe, tj. svih 38 mogućih torzijskih grupa nad kvartičnim poljima pojavljuje se kao torzijska grupa nad nekim kvartičnim poljem za beskonačno mnogo neizomorfnih eliptičkih krivulja.

16.5 Algoritam za rješavanje Thueove jednadžbe

Str. 552, redak 9 odozdo: Primijetimo da budući da je g ireducibilan i s ≥ 1, jedini korijeni iz jedinice koji pripadaju K su ± 1.

Str. 554, redak 3 odozdo: Umjesto β^(i₁) treba pisati β_i1; umjesto μ^(i₁) treba pisati μ_i1; umjesto β^(i_r) treba pisati β_ir; umjesto μ^(i_r) treba pisati μ_ir.

Bibliografija

Referenca [54] objavljena je u časopisu:
M. Cipu, Y. Fujita, On the length of D(±1)-tuples in imaginary quadratic rings, Bull. Lond. Math. Soc. 56 (2024), 274-287.

U referenci [283], umjesto "PNW" treba pisati "PWN".

Indeks pojmova

Str. 600: Umjesto "Thue, Alex" treba pisati "Thue, Axel".

Errata et addenda za prvo izdanje, 2019.

Komentare, primjedbe i sugestije u vezi knjige možete poslati na e-mail adresu duje@math.hr. Posebno ću biti zahvalan svima koji ukažu na nedostatke ili moguće pogreške u knjizi.